IEEE 754 定义了计算机如何表示和存储非整数的数据, 如: 12.084, 0.3, -0.0043. 对于整数, 我们只要把十进制的整数转换成二进制, 并且在最前面设置它的正数/负数的符号, 就很容易的存储.

浮点数转成二进制

浮点数转成二进制分成2部份: 整数部分和小数部份.

1. 对于整数部分, 直接转成二进制, 比如 12(十进制) = 1100 (二进制).
2. 对于小数部份, 0.5(十进制) = 0.1(二进制), 0.25(十进制) = 0.01(二进制), 0.125(十进制) = 0.001(二进制), 所以可以看到对于小数部份是通过把1整除的方式获得的. 所以0.375(十进制) = 1/4 + 1/8 = 0.25 + 0.125 = 0.01(二进制) + 0.001(二进制) = 0.011(二进制).

所以:

12.125
   12 = 8 + 4 = 1100
   0.125 = 1/8 = 0.001
12.125 = 1100.001

科学计数法

科学记数法是一种记数的方法。 把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。
例如：12.125 = 1.2125×10^1, 19971400000000=1.99714×10^13, 0.00345 = 3.45×10^-3.
所以它把一个数分成大于等于1小于10的科学计数部份和指数部分.

对于二进制, 同样适用科学计数法, 只不过二进制表示成科学计数法整数部分除了0之外, 只能有1. 比如:

12.125 = 1100.001 = 1.100001×2^3
0.375 = 0.011 = 1.1×2^-2

IEEE754 浮点表示

IEEE754 规定了单精度(32位)浮点数和双精度(64位)浮点数以及其他浮点数. 我们这里主要看单精度, 其它原理类似.

对于32位的浮点数, 32位分成 1位符号位(正负) + 8位指数 + 23位 科学计数数值.
符号位 0 表示正, 1 表示负.
比如:
12.125 = 1100.001 = 1.100001×2^3, 它的符号位0(正数), 指数部分是3 (二进制11), 科学计数数值是1.100001(二进制).
-0.375 = 0.011 = 1.1×2^-2, 它的符号位数1(负数), 指数部分是-2(-10二进制), 科学计数数值是1.1(二进制).

需要进一步明确的地方:

1. 8位指数从 00000000 ~ 11111111, 即0 ~ 255, 但是这样对于是负数的指数无法表示, 所以需要调整这个值从0 ~ 255表示成-127 ~ 128. 即0表示 0-127 = -127(指数), 127 - 127 = 0(指数为0), 255 - 127 = 128. 但实际使用的时候, -127和128被用作特殊值处理, 实际可能的值只能是 -126 ~ 127.
2. 对于数值部分, 因为是科学计数法, 所以除了0之外, 其它时候都是1, 所以这个1可以去掉, 所以23位全部用来表示点之后的部份. 即 1.001101 只要使用 001101 它, 1.101 只要使用 101. 0表示成 23个0.

所以:
12.125 = 1100.001 = 1.100001×2^3 -> 符号是0, 指数部分原本是3,转成127+3=130,即二进制 10000010, 科学计数部分去掉点之前的1, 即是100001.
-0.375 = 0.011 = 1.1×2^-2 -> 符号是1, 指数部分是-2, 转成127-2=125, 即二进制 1111101, 科学计数部分去掉点之前的1, 即是 1.

对于指数部分不够8位只要前面补0, 对于科学计数部分, 由于是小数点后的, 所以后面补0. 于是:
12.125 = 1100.001 = 1.100001×2^3 => 0 10000010 10000100000000000000000`.
-0.375 = 0.11 = 1.1×2^-1 => 1 01111101 1000000000000000000000

验证

让AI写了一段 C 代码, 来验证一把:

#include <stdio.h>

int main() {
    float num1 = 12.125f;
    float num2 = -0.375f;

    // 将浮点数的二进制表示转换为字节表示
    unsigned char *bytePtr1 = (unsigned char *)&num1;
    unsigned char *bytePtr2 = (unsigned char *)&num2;

    printf("12.125 的二进制表示为：\n");
    for (int i = sizeof(float) - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = 7; j >= 0; j--) {
            printf("%d", (bytePtr1[i] >> j) & 1);
        }
        printf(" ");
    }
    printf("\n");

    printf("-0.375 的二进制表示为：\n");
    for (int i = sizeof(float) - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = 7; j >= 0; j--) {
            printf("%d", (bytePtr2[i] >> j) & 1);
        }
        printf(" ");
    }
    printf("\n");

    return 0;
}

跑一台机器

12.125 的二进制表示为：
01000001 01000010 00000000 00000000
-0.375 的二进制表示为：
10111110 11000000 00000000 00000000